Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguim qua một số trong những ví dụ.

Bạn đang xem: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Phương pháp: chẵn lẻ, đối chiếu, rất hạn, đào thải, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài xích tập mà lại những em vận dụng một xuất xắc các cách thức để giải bài xích toán pmùi hương trình nghiệm nguim.

I. Phương thơm pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ

lấy ví dụ như 1: Tìm x, y nguim tố thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta tất cả y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (cùng với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

lấy ví dụ như 2: Tìm nghiệm ngulặng dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Tgiỏi x = 0 vào pmùi hương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta tất cả x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm:

Phương pháp 2 : Phương thơm pháp phân tích

Thực hóa học là biến đổi pmùi hương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

lấy một ví dụ 3: Tìm nghiệm ngulặng của phương thơm trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Phương thơm pháp 3 : Pmùi hương pháp cực hạn

Sử dụng đối với 1 số ít bài xích toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

lấy một ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên ổn dương của pmùi hương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương thơm trình tất cả nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

ví dụ như 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham mê số ta tất cả phương thơm trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

nỗ lực vào phương trình ta tìm kiếm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của pmùi hương trình

X. Phương thơm pháp 10 : Dùng bất đẳng thức

ví dụ như 16: Tìm nghiệm nguyên ổn của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

Hướng dẫn:

Ta gồm x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0