Số phức liên hợp là gì

-

- Biểu diễn hình học: Trong mpOxy, mỗi điểm M(a ; b) hay vectơ

*
= (a ; b) biểu diễn số phức z = a + bi,

khi đó Ox là trục thực, Oy là trục ảo và (Oxy) là mặt phẳng phức.

Bạn đang xem: Số phức liên hợp là gì

- Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Khi đó

*

II - Phép toán về sốphức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

1. Phép cộng : z + z’ = a + a’ + (b + b’)i

Tính chất:

z + z’ = z’ + z, ∀z, z" ∈ C (tính chất giao hoán)

(z + z’) + z” = z + (z’ + z”), ∀z", Z"" ∈ C(tính chất kết hợp)

z + 0 = 0 + z,∀z ∈ C

-z = -a - bi là số phức đối của z = a + bi vàz + (-z) = (-z) + z = 0.

2. Phép trừ : z - z’ = z + (- z’) = a - a’ + (b - b’)i

Phép cộng và phép trừ hai số phức có thể biểu diễn hình học bằng phép cộng vàphép trừ vectơ trong

mặt phẳng phức.

3. Phép nhân : z.z’ = aa’ - bb’ + (ab’ + a’b)i

Tính chất:

z.z’ = z’.z, ∀z, z" ∈ C(tính chất giao hoán)

(z.z’)z” = z(z’.z”), ∀z, z", z"" ∈ C(tính chất kết hợp)

1.z = z.1 = z,∀z ∈ C

z(z’ + z”) = z.z’ + z.z”, ∀z, z", z"" ∈ C(tính chất phân phối của phépnhân đối với phép cộng)

k(a + bi) = ka + kbi (∀k ∈R).

Ghi chú:

a) Từđịnh nghĩa, trong việc cộng - trừ - nhân các số phức thì ngoài việc nhớ công thức, chúng ta có thể

cộng - trừ - nhân như trong số thực với lưu ýi2= -1.

Xem thêm: Index Trong Sql Là Gì ? Tại Sao Cần Index Database? Chỉ Mục (Index) Trong Sql

b) i3 = -i ; i4 = 1 ; i4k = 1 ; i4k+1 = i ; i4k+2 = -1, i4k+3 = -i (k ∈ Z)c) Số phức liên hợp :

z = a + bi và

*
= a - bi là hai số phức liên hợp với nhau và ta có:

*

d) Môđun của số phức :

Môđun của số phức z= a + bi là

*
trong mặt phẳng phức với M(a ; b).

Ta có z = 0 ⇔ |z|= 0.

4. Phép chia:

- Số phức nghịch đảo của số phức z khác 0 là:

*

- Với z ≠0 thì

*
Vậy trong thực hành để tìm
*
ta có thể chỉ cần nhân tử và mẫu cho sốphức liên hợp của z.

5. Căn bậc hai của một sốphức:

Căn bậc hai của số phức w là số z thoả z2 = w hay z là một nghiệm củaphương trình z2 - w = 0. Do đó:

-w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0.

- w là số thực dương a, có hai căn bậc hai đối nhau là

*

- w là số thực âm a, có hai căn bậc hai đối nhau là

*
.

- Trường hợp tổng quát, w = a + bi (w ≠0) sẽ có đúng hai căn bậc hai đối nhau dạng x + yi mà x, y là

nghiệm của hệ:

*

Áp dụng.

Giải một phương trình bậc hai Ax2 + Bx + c = 0 trong tập số phức cũng giống quy tắc tìm nghiệm trong tập

số thực, nhưng phương trình luôn có nghiệm là:

*
(nếuΔ≥ 0) hoặc
*
(nếuΔ

Ví dụ:

Trong việc xác định phần thực và phần ảo của số phức z = a + ib sau đây, khẳng định sự đúng, sai của