Phép tịnh tiến là gì

-

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ các dạng toán của Phép tịnh tiến. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ nắm được các phương pháp giải bài tập. Để học tốt hơn, các em cần ôn lại khái niệm vectơ đã học ở Hình học 10.

Bạn đang xem: Phép tịnh tiến là gì


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2.Các tính chất của phép tịnh tiến

1.3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

1.4. Một số dạng bài tập và phương pháp giải

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 2 chương 1 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm về phép tịnh tiến

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phép tịnh tiến

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 1 hình học 11


Trong mặt phẳng, cho vectơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\) . Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\) là phép biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM"} = \overrightarrow v .\)

Ký hiệu: \({T_{\overrightarrow v }}(M) = M"\) hoặc \({T_{\overrightarrow v }}:M \to M"\).\(\)\(\)\(\)

*


a) Tính chất 1

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì MN=M’N’.

b) Tính chất 2

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả:

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .


1.3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến


Giả sử cho \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\) và một điểm M(x;y).

Xem thêm: Tiểu Sử Ca Sĩ Giáng Tiên Sinh Năm Bao Nhiêu, Thông Tin, Tiểu Sử Về Ca Sĩ Giáng Ngọc

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x" = a + x\\y" = y + b\end{array} \right.\)

*


1.4. Một số dạng bài tập và phương pháp giải


a) Dạng 1

Cho điểm \(A\left( {x;y} \right)\) tìm ảnh \(A"\left( {x";y"} \right)\) là ảnh của \(A\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Ta có: \({\rm{A" = }}{{\rm{T}}_{\overrightarrow v }}(A) \Leftrightarrow \overrightarrow {AA"} = \overrightarrow v \Leftrightarrow (x" - x;y" - y) = ({x_0};{y_0}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x" - x = {x_0}\\y" - y = {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x" = x + {x_0}\\y" = y + {y_0}\end{array} \right.\)

Vậy: \(A"\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\).

b) Dạng 2

Cho đường thẳng\(d:ax + by + c = 0\) tìm ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Gọi \(d"\) là ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải 1:

Với \(M = \left( {x;y} \right) \in d\) ta có \({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M"\left( {x";y"} \right) \in d"\).

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép \({T_{\overrightarrow v }}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x" = x + {x_0}\\y" = y + {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x" - {x_0}\\y = y" - {y_0}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(d":a\left( {x" - {x_0}} \right) + b\left( {y" - {y_0}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow ax" + by" - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Vậy phương trình của d’ là: \(ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Phương pháp giải 2:

Ta có d và d’ song song hoặc trùng nhau, vậy d’ có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\).

Ta tìm 1 điểm thuộc d’.

Ta có \(M\left( {0; - \frac{c}{b}} \right) \in d\), ảnh \(M"\left( {x";y"} \right) \in d"\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x" = 0 + {x_0} = {x_0}\\y" = - \frac{c}{b} + {y_0}\end{array} \right.\)

Phương trình của d’ là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y + \frac{c}{b} - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)


Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u = (3;1)}}.\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} {\rm{ }},{\rm{ }}\overrightarrow {{\rm{A"B"}}} {\rm{ }}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\rm{A" = }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(A) = (5;4){\rm{ }}{\rm{, B" = }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(B) = (4;2){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{AB = }}\left| {\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right|\, = \sqrt 5 ,{\rm{ A"B" = }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{\rm{A"B"}}} } \right|\, = \sqrt 5 {\rm{ }}{\rm{.}}\)

Ví dụ 2:

Đường thẳng d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {5;1} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có một VTCP là: \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {AB} = (4;5)\)

Vì \({T_{\overrightarrow v }}(d) = d" \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}"} = \overrightarrow {{u_d}} = (4;5)\)

Gọi \({T_{\overrightarrow v }}(A) = A" \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A"}} = {x_A} + 5 = 1\\{y_{A"}} = {y_A} + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow A"(1;1)\)

Vì \(A \in d \Rightarrow A" \in d" \Rightarrow d":\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\)

Ví dụ 3:

Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x - 2y + 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = ( - 1;2).\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Gọi \(M(x;y) \in d,{T_{\overrightarrow v }}(M) = M"(x";y") \in d"\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x" = x - 1\\y" = y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x" + 1\\y = y" - 2\end{array} \right. \Rightarrow M(x" + 1;y" - 2) \in d\\ \Rightarrow x" - 2y" + 8 = 0.\end{array}\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y + 8 = 0.\)

Cách 2:

({T_{\overrightarrow v }}(d) = d" \Rightarrow d"https://d \Rightarrow d":x - 2y + c = 0\)

Chọn \(M( - 3;0) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}(M) = M"(x";y") \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x" = - 3 - 1 = - 4\\y" = 0 + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M"( - 4;2).\)

Mà \(M" \in d" \Rightarrow - 4 - 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 8 \Rightarrow d":x - 2y + 8 = 0.\)

Ví dụ 4:

Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4.\) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 2;2} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R=2.

Ta có: \({T_{\overrightarrow v }}(C) = C" \Rightarrow {R_{C"}} = R = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}(I) = I" \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I"}} = {x_I} + ( - 2) = 0\\{y_{I"}} = {y_I} + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow I"(0;3)\)

Vậy phương trình (C’) là: \({(x - 0)^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Cách 2:

Gọi: \({T_{\overrightarrow v }}\left( {M(x,y) \in (C)} \right) = M"(x";y") \in (C") \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x" = x - 1\\y" = y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x" + 2\\y = y" - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M(x" + 2;y" - 2)\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow x{"^2} + {(y" - 3)^2} = 4 \Rightarrow (C"):{x^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Ví dụ 5:

Cho \(\,d:\,2x - 3y + 3 = 0;\,{d_1}:2x - 3y - 5 = 0.\)

Tìm tọa độ \(\overrightarrow {\rm{w}} \)có phương vuông góc với d để \({d_1} = {T_{\overrightarrow {\rm{W}} }}(d).\)

Hướng dẫn giải:

Vì \(\overrightarrow {\rm{w}} \) có phương vuông góc với d nên: \(\overrightarrow {\rm{w}} = k.\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2k; - 3k} \right)\)

Chọn \(M(0;1) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow {\rm{w}} }}(M) = M" \in {d_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M"}} = {x_M} + {x_{\overrightarrow {\rm{w}} }} = 2k\\{y_{M"}} = {y_M} + {y_{\overrightarrow {\rm{w}} }} = - 3k + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M"(2k; - 3k + 1).\)

\(M" \in {d_1} \Rightarrow 2.(2k) - 3.( - 3k + 1) - 5 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{{13}} \Rightarrow \overrightarrow {\rm{w}} = \left( {\frac{{16}}{{13}}; - \frac{{24}}{{13}}} \right).\)