Cho tam giác abc có 3 góc nhọn nội tiếp

-

Cho tam giác ABC tất cả bố góc nhọn nội tiếp vào đường tròn (O) tất cả nửa đường kính (R=3cm). Các tiếp con đường với (O) trên B và C cắt nhau tại D.

Bạn đang xem: Cho tam giác abc có 3 góc nhọn nội tiếp

1) Chứng minch tđọng giác OBDC nội tiếp mặt đường tròn.

2) call M là giao điểm của BC và OD. Biết (OD=5cm). Tính diện tích của tam giác BCD.

3) Kẻ mặt đường trực tiếp d đi qua D với tuy nhiên tuy nhiên với con đường tiếp tuyến đường với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC theo lần lượt tại P., Q. Chứng minc (AB.AP=AQ.AC)

4) Chứng minch góc PAD bởi góc MAC.


Lời giải của Tự Học 365

Giải bỏ ra tiết:

*

1) Chứng minh tứ đọng giác OBDC nội tiếp con đường tròn.

Do DB, DC là những tiếp tuyến đường của đường tròn (O) (Rightarrow widehatOBD=widehatOCD=90^0)

Xét tứ đọng giác OBDC bao gồm (widehatOBD+widehatOCD=90^0+90^0=180^0Rightarrow ) tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tđọng giác bao gồm tổng hai góc đối bằng 1800)

2) điện thoại tư vấn M là giao điểm của BC cùng OD. Biết (OD=5cm). Tính diện tích của tam giác BCD.

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OBD có (BD=sqrtOD^2-OB^2=sqrt5^2-3^2=4,,left( centimet ight))

Ta bao gồm (OB=OC=R;,,DB=DC) (tính chất nhì tiếp tuyến cắt nhau)

(Rightarrow O;,,D) nằm trong trung trực của BC (Rightarrow OD) là trung trực của BC (Rightarrow ODot BC).

Xem thêm: Ý Nghĩa Của Việc Cải Tạo Đất Phèn Đất Mặn Ở Đồng Bằng Sông Cửu Long ?

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBD có:

(DM.DO=DB^2Rightarrow DM=fracDB^2DO=frac4^25=frac165,,left( centimet ight))

(BM.OD=OB.BDRightarrow BM=fracOB.BDOD=frac3.45=frac125,,left( cm ight))

Vậy (S_Delta DBC=frac12DM.BC=DM.BM=frac165.frac125=frac19225=7,68,,left( cm^2 ight)).

3) Kẻ đường trực tiếp d đi qua D và song tuy vậy cùng với đường tiếp tuyến với (O) trên A, d giảm các mặt đường trực tiếp AB, AC thứu tự trên P.., Q. Chứng minch (AB.AP=AQ.AC)

Ta tất cả (widehatAPQ=widehatxAB) ( 2 góc so le vào vày con đường thẳng Ax // PQ)

Mà (widehatxAB=widehatACB) (góc nội tiếp cùng góc chế tạo ra vày tiếp tuyến đường và dây cung thuộc chắn cung AB của (O)).

(Rightarrow widehatAPQ=widehatACB)

Xét tam giác ABC cùng tam giác AQPhường có:

(widehatPAQ) chung;

(widehatAPQ=widehatACB,,left( ,cmt ight))

(Rightarrow Delta ABCacksim Delta AQP,,left( g.g ight)Rightarrow fracABAQ=fracACAPRightarrow AB.AP=AC.AQ)

4) Chứng minh góc PAD bởi góc MAC.

Kéo nhiều năm BD giảm D tại F.

Ta tất cả (widehatDBP=widehatABF) (đối đỉnh)

Mà (widehatABF=widehatACB) (góc nội tiếp và góc chế tác vị tia tiếp tuyến đường với dây cung cùng chắn cung AB)

(widehatACB=widehatAPD) (vì (Delta ABCackslặng Delta AQP))

(Rightarrow widehatDBP=widehatAPD=widehatBPDRightarrow Delta DBP) cân trên D (Rightarrow DB=DP)

Tương tự kéo dãn DC giảm d tại G, ta minh chứng được (widehatDCQ=widehatACG=widehatABC=widehatDQCRightarrow Delta DCQ) cân trên D (Rightarrow DC=DQ)

Lại gồm (DB=DC) (tính chất hai tiếp đường giảm nhau) (Rightarrow DP=DQRightarrow D) là trung điểm của PQ.

Ta có: (Delta ABCacksyên ổn Delta AQP,,left( cmt ight)Rightarrow fracABAQ=fracACAP=fracBCPQ=frac2MC2PDRightarrow fracACAP=fracMCPD)

Xét tam giác (AMC) cùng tam giác (ADP) có

(widehatACM=widehatAPD,,left( widehatACB=widehatAPQ,,left( cmt ight) ight))

(fracACAP=fracMCPD,,left( cmt ight))

(Rightarrow Delta AMCacksyên Delta ADP,,left( c.g.c ight)Rightarrow widehatPAD=widehatMAC,,left( dpcentimet ight)).